/*+-----+
(RFp) basis 
see Figure "Basic measures for a POIo" : 
From "sin(Aθpc(POIo(t),t))" : 
/%
(1)*	sin(Aθpc(POIo(t),t)) = RθPI2pcs(POIo)/Rpcs(POIo(t),t)

Therefore : 
	∂[∂(t): sin(Aθpc(POIo(t),t))] 
	= ∂[∂(t): RθPI2pcs(POIo)/Rpcs(POIo(t),t)]
	= RθPI2pcs(POIo)*∂[∂(t): 1/Rpcs(POIo(t),t)]
(1) 	= RθPI2pcs(POIo)*(-1)/Rpcs(POIo(t),t)^2*∂[∂(t): Rpcs(POIo(t),t)]

From "∂[∂(t): Rpcs(POIo(t),t)] = ∂[∂(t): |Rpcv(POIo(t),t)|]" : 
	(1)**	∂[∂(t): Rpcs(POIo(t),t)] = ∂[∂(t): |Rpcv(POIo(t),t)|]  = -Vons(PART)*cos(Aθpc(POIo(t),t))

Subbing (1)* into (1) : 
	(1) 	∂[∂(t): sin(Aθpc(POIo(t),t))] 
	= RθPI2pcs(POIo)*(-1)/Rpcs(POIo(t),t)^2*∂[∂(t): Rpcs(POIo(t),t)]
	= RθPI2pcs(POIo)*(-1)/Rpcs(POIo(t),t)^2*-Vons(PART)*cos(Aθpc(POIo(t),t))
	= Vons(PART)*cos(Aθpc(POIo(t),t))*RθPI2pcs(POIo)/Rpcs(POIo(t),t)^2

But AGAIN using "sin(Aθpc(POIo(t),t))" :
	(1)*	sin(Aθpc(POIo(t),t)) = RθPI2pcs(POIo)/Rpcs(POIo(t),t)

Summarizing : 
(mathH)  ∂[∂(t): sin(Aθpc(POIo(t),t))] = Vons(PART)*sin(Aθpc(POIo(t),t))*cos(Aθpc(POIo(t),t))/Rpcs(POIo(t),t)
(endMath)



/*	Double-check - /%
		∂[∂(t): sin(Aθpc(POIo(t),t))]  
		=  ∂[∂(Aθpc(POIo(t),t)): sin(Aθpc(POIo(t),t))] *∂[∂(t): Aθpc(POIo(t),t)]
/*	from above : /% 
		∂[∂(t): Aθpc(POIo(t),t)] =  Vons(PART)*sin(Aθpc(POIo(t),t))/Rpcs(POIo(t),t)  
/*	therefore :  /%
		∂[∂(t): sin(Aθpc(POIo(t),t))] 
		= cos(Aθpc(POIo(t),t))*Vons(PART)*sin(Aθpc(POIo(t),t))/Rpcs(POIo(t),t) 
		= Vons(PART)*sin(Aθpc(POIo(t),t))*cos(Aθpc(POIo(t),t))/Rpcs(POIo(t),t) 
/*	OK - this is the same as above!!! 


/*+-----+
(RFo) basis 


see Figure "Basic measures for a POIo" : 
/%	Rpcs(POIo(t),t)*sin(Aθpc(POIo(t),t)) = Rocs(POIo)*sin(Aθoc(POIo))
	sin(Aθpc(POIo(t),t)) = Rocs(POIo)/Rpcs(POIo(t),t)*sin(Aθoc(POIo))  

but [Rocs(POIo),sin(Aθoc(POIo))] are constants for (POIo), therefore 
	∂[∂(t): sin(Aθpc(POIo(t),t))] 
	=  Rocs(POIo)*sin(Aθoc(POIo)) * ∂[∂(t): 1/Rpcs(POIo(t),t)]  
	=  Rocs(POIo)*sin(Aθoc(POIo)) *(-1)/Rpcs(POIo(t),t)^2 *∂[∂(t): Rpcs(POIo(t),t)]  
from "∂[∂(t): Rpcs(POIo(t),t)] = ∂[∂(t): |Rpcv(POIo(t),t)|]"  : 
	(7)	∂[∂(t): Rpcs(POIo(t),t)]              
	=  [              -   Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))*Vons(PART)   +  Vons(PART)^2*t    ]  
	  /[ Rocs(POIo)^2 - 2*Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))*Vons(PART)*t + (Vons(PART)  *t)^2 ]^(1/2) 
/*From "Relating [Rpcs,Rθ0pcs,RθPI2pcs,Aθpc,Aθpc]@t  to [Rocs,Rθ0ocs,RθPI2ocs,Aθoc,APo] for (POIo)" : 
/%	(2)	Rpcs(POIo(t),t))
	=  { Rocs(POIo)^2 - 2*Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))*Vons(PART)*t + [Vons(PART)  *t]^2 }^(1/2)  
therefore : 
	∂[∂(t): sin(Aθpc(POIo(t),t))] 
	=    Rocs(POIo)*sin(Aθoc(POIo)) *(-1)/Rpcs(POIo(t),t)^2 *∂[∂(t): Rpcs(POIo(t),t)]  
	= -1*Rocs(POIo)*sin(Aθoc(POIo))
	 / { Rocs(POIo)^2 - 2*Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))*Vons(PART)*t + [Vons(PART)  *t]^2 }^(1/2)^2 
	 * [              -   Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))*Vons(PART)   +  Vons(PART)^2*t    ]  
	  /[ Rocs(POIo)^2 - 2*Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))*Vons(PART)*t + (Vons(PART)  *t)^2 ]^(1/2) 
	= -1*Rocs(POIo)*sin(Aθoc(POIo))
	 / { Rocs(POIo)^2 - 2*Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))*Vons(PART)*t + [Vons(PART)  *t]^2 } 
	 * [              -   Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))*Vons(PART)   +  Vons(PART)^2*t    ]  
	  /[ Rocs(POIo)^2 - 2*Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))*Vons(PART)*t + (Vons(PART)  *t)^2 ]^(1/2) 
	= -1*Rocs(POIo)*sin(Aθoc(POIo))*Vons(PART)
	 / { Rocs(POIo)^2 - 2*Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))*Vons(PART)*t + [Vons(PART)  *t]^2 } 
	 * [              -   Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))                  +  Vons(PART)  *t    ]
	 / [ Rocs(POIo)^2 - 2*Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))*Vons(PART)*t + (Vons(PART)  *t)^2 ]^(1/2) 

Finally : 
(mathH) 
	∂[∂(t): sin(Aθpc(POIo(t),t))] 
		=	-Rocs(POIo)*sin(Aθoc(POIo))*Vons(PART)*{-Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo)) + Vons(PART)*t}
			/ {Rocs(POIo)^2 - 2*Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))*Vons(PART)*t + (Vons(PART)*t)^2}^(3/2) 
(endMath)



/*+-----+
LIMIT CHECKS :  

Dimensional consistency -  OK, as all terms reduce to (1/time).

The result here looks a bit opaque, and this is not a good sign...

See  "∂[∂(t): Rpcs(POIo(t),t)*sin(Aθpc(POIo(t),t))]" - note that the ?correct? result as obtained by the "Alternative Verification" provides a small degree of confirmation of the results for this usb-sub-section.  


More detailed checks via alternate "routes" :  later ...