(mathH)  ∂[∂(t): Rpcs(POIo(t),t)*sin(Aθpc(POIo(t),t))] = 0
(endMath)

(mathH)  ∂[∂(t): ROPI2pcs(POIo(t),t)]  =  0 
(endMath)



/*+-----+
(RFp) basis 
see Figure "Basic measures for a POIo" : 
ALTERNATIVE DERIVATION 
This also serves to test the constituent relations.  
/%
		∂[∂(t): Rpcs(POIo(t),t)*sin(Aθpc(POIo(t),t))] 
		=	+	∂[∂(t): Rpcs(POIo(t),t)]		  *sin(Aθpc(POIo(t),t)) 
			+			  Rpcs(POIo(t),t)	*∂[∂(t): sin(Aθpc(POIo(t),t))] 
/*	from above  /%
		∂[∂(t): Rpcs(POIo(t),t)]  =  -Vons(PART)*cos(Aθpc(POIo(t),t)) 
		∂[∂(t): sin(Aθpc(POIo(t),t))] = Vons(PART)*sin(Aθpc(POIo(t),t))*cos(Aθpc(POIo(t),t))/Rpcs(POIo(t),t)  
/*	substituting   /%
		∂[∂(t): Rpcs(POIo(t),t)*sin(Aθpc(POIo(t),t))] 
		=	+	-Vons(PART)*cos(Aθpc(POIo(t),t))		  *sin(Aθpc(POIo(t),t)) 
			+			  Rpcs(POIo(t),t)	*Vons(PART)*sin(Aθpc(POIo(t),t))*cos(Aθpc(POIo(t),t))/Rpcs(POIo(t),t) 
		=	-	Vons(PART)*cos(Aθpc(POIo(t),t))*sin(Aθpc(POIo(t),t)) 
			+	Vons(PART)*sin(Aθpc(POIo(t),t))*cos(Aθpc(POIo(t),t))/Rpcs(POIo(t),t)*Rpcs(POIo(t),t)
		=		Vons(PART)*cos(Aθpc(POIo(t),t))*sin(Aθpc(POIo(t),t))*(-1 + 1)
		=	0

		∂[∂(t): Rpcs(POIo(t),t)*sin(Aθpc(POIo(t),t))] = 0


/*+-----+
(RFo) basis 
see Figure "Basic measures for a POIo" : 
ALTERNATIVE DERIVATION 
This also serves to test the constituent relations.  
/%
	  ∂[∂(t): Rpcs(POIo(t),t) *sin(Aθpc(POIo(t),t))] 
	= ∂[∂(t): Rpcs(POIo(t),t)]*sin(Aθpc(POIo(t),t)) + Rpcs(POIo(t),t)*∂[∂(t): sin(Aθpc(POIo(t),t))]

from "∂[∂(t): Rpcs(POIo(t),t) ] = ∂[∂(t): |Roc(POIo)|]"  : 
 	(7)	∂[∂(t): Rpcs(POIo(t),t)]              
	=  [              -   Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))*Vons(PART)   +  Vons(PART)^2*t    ]  
	  /[ Rocs(POIo)^2 - 2*Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))*Vons(PART)*t + (Vons(PART)  *t)^2 ]^(1/2) 
from  "∂[∂(t): sin(Aθpc(POIo(t),t)) ]"   : 
	(1)	∂[∂(t): sin(Aθpc(POIo(t),t))] 
	=   -Rocs(POIo)*sin(Aθoc(POIo))*Vons(PART)
	 * [              -   Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))                  +  Vons(PART)  *t    ]
	 / [ Rocs(POIo)^2 - 2*Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))*Vons(PART)*t + (Vons(PART)  *t)^2 ]^(3/2) 

so
	  ∂[∂(t): Rpcs(POIo(t),t) *sin(Aθpc(POIo(t),t))] 
	= ∂[∂(t): Rpcs(POIo(t),t)]*sin(Aθpc(POIo(t),t)) + Rpcs(POIo(t),t)*∂[∂(t): sin(Aθpc(POIo(t),t))]
	=      sin(Aθpc(POIo(t),t))
	   * [              -   Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))*Vons(PART)    +  Vons(PART)^2*t    ]  
	   / [ Rocs(POIo)^2 - 2*Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))*Vons(PART)*t  + (Vons(PART)  *t)^2 ]^(1/2) 
	 +      Rpcs(POIo(t),t)
	   *   -Rocs(POIo)*sin(Aθoc(POIo))*Vons(PART)
	   * [               -   Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))                  +  Vons(PART)  *t    ]
	   / [  Rocs(POIo)^2 - 2*Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))*Vons(PART)*t + (Vons(PART)  *t)^2 ]^(3/2) 

/*From "Relating [Rpcs,Rθ0pcs,RθPI2pcs,Aθpc,Aθpc]@t  to [Rocs,Rθ0ocs,RθPI2ocs,Aθoc,APo] for (POIo)"  : 
/%	(2)	Rpcs(POIo(t),t))
	=   { Rocs(POIo)^2 - 2*Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))*Vons(PART)*t + [Vons(PART)*t]^2 }^(1/2)  
/*From "Relating [Rpcs,Rθ0pcs,RθPI2pcs,Aθpc,Aθpc]@t  to [Rocs,Rθ0ocs,RθPI2ocs,Aθoc,APo] for (POIo)"  : 
/%	(5)	sin(Aθpc(POIo(t),t)) 
	=     Rocs(POIo)*sin(Aθoc(POIo)) 
	 / {  Rocs(POIo)^2 - 2*Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))*Vons(PART)*t + [Vons(PART)*t ]^2 }^(1/2)  
so
	  ∂[∂(t): Rpcs(POIo(t),t)*sin(Aθpc(POIo(t),t))] 
	=       Rocs(POIo)*sin(Aθoc(POIo)) 
	   / {  Rocs(POIo)^2 - 2*Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))*Vons(PART)*t + [Vons(PART)  *t]^2 }^(1/2)  
	   * [              -    Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))*Vons(PART)   +  Vons(PART)^2*t    ]  
	   / [  Rocs(POIo)^2 - 2*Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))*Vons(PART)*t + (Vons(PART)  *t)^2 ]^(1/2) 
	 +   {  Rocs(POIo)^2 - 2*Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))*Vons(PART)*t + [Vons(PART)  *t]^2 }^(1/2)  
	   *   -Rocs(POIo)*sin(Aθoc(POIo))*Vons(PART)
	   * [               -   Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))                  +  Vons(PART)  *t    ]
	   / [  Rocs(POIo)^2 - 2*Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))*Vons(PART)*t + (Vons(PART)  *t)^2 ]^(3/2) 
	=       Rocs(POIo)*sin(Aθoc(POIo))*Vons(PART)  
	   * [              -    Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))                  +  Vons(PART)  *t    ]  
	   / [  Rocs(POIo)^2 - 2*Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))*Vons(PART)*t + (Vons(PART)  *t)^2 ]
	 +     -Rocs(POIo)*sin(Aθoc(POIo))*Vons(PART)
	   * [               -   Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))                  +  Vons(PART)  *t    ]
	   * {  Rocs(POIo)^2 - 2*Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))*Vons(PART)*t + [Vons(PART)  *t]^2 }^(1/2)  
	   / [  Rocs(POIo)^2 - 2*Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))*Vons(PART)*t + (Vons(PART)  *t)^2 ]^(3/2) 
	=       Rocs(POIo)*sin(Aθoc(POIo))*Vons(PART)  
	   * [              -    Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))                  +  Vons(PART)  *t    ]  
	   / [  Rocs(POIo)^2 - 2*Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))*Vons(PART)*t + (Vons(PART)  *t)^2 ]
	 -      Rocs(POIo)*sin(Aθoc(POIo))*Vons(PART)
	   * [               -   Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))                  +  Vons(PART)  *t    ]
	   / [  Rocs(POIo)^2 - 2*Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))*Vons(PART)*t + (Vons(PART)  *t)^2 ]
	=    [  Rocs(POIo)*sin(Aθoc(POIo))*Vons(PART)  -   Rocs(POIo)*sin(Aθoc(POIo))*Vons(PART) ] 
	   * [              -    Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))                  +  Vons(PART)  *t    ]  
	   / [  Rocs(POIo)^2 - 2*Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))*Vons(PART)*t + (Vons(PART)  *t)^2 ]
	=    0
	   * [              -    Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))                  +  Vons(PART)  *t    ]  
	   / [  Rocs(POIo)^2 - 2*Rocs(POIo)*cos(Aθoc(POIo))*Vons(PART)*t + (Vons(PART)  *t)^2 ]
	=    0 


/*	Finally :   /%
		∂[∂(t): Rpcs(POIo(t),t)*sin(Aθpc(POIo(t),t))]  =  0 
/* OK, it is the same 

/*This makes sense, as from Figure "Basic measures for a POIo", Rpcs(POIo(t),t)*sin(Aθpc(POIo(t),t)) is a constant because the endpoint of rov is always on L(POI), parallel to L(PART), the trajectory of the center of the particle.  
/%
		Rpcs(POIo(t),t)*sin(Aθpc(POIo(t),t)) = Rocs(POIo)*sin(Aθoc(POIo)

/*+-----+
LIMIT CHECKS :  

Dimensional consistency -  OK in intermediate equations, as all terms reduce to (length/time).

The agreement between the [geometric, algebraic] approaches above provides a small but essential degree of confirmation of the result.